Priemgetallen zijn getallen die slechts twee delers hebben , omdat ze alleen deelbaar zijn door zichzelf en door één, oftewel het getal 1. Maar let op! Ze zijn deelbaar door zowel positieve als negatieve getallen. Wat betekent dit? Heel eenvoudig. Een priemgetal, bijvoorbeeld 2, kan alleen gedeeld worden door 2, -2, 1 en -1.
Getallen met meer dan twee delers worden samengestelde getallen genoemd . Als we bijvoorbeeld 10 nemen, zien we dat we het kunnen delen door zichzelf en door één, dat wil zeggen door 10 en door 1, maar ook door 2 en door 5. Daarom is 10 een samengesteld getal.
Zijn alle getallen priemgetallen of samengesteld?
Er zijn twee 'bijzondere' getallen die noch priem noch samengesteld zijn: 0 en 1. Waarom? Laten we het uitzoeken:
- Het getal 1 kan door zichzelf worden gedeeld (1/1 = 1) en door eenheid, dat wil zeggen, het getal 1 (1/1 = 1). Om een getal echter als priemgetal te beschouwen, moet het 2 verschillende delers hebben. Het getal 1 heeft maar één deler, dus het is geen priemgetal of composiet.
- De 0 kan niet door zichzelf worden gedeeld, omdat het resultaat onbepaald is.
Dus als we 0 en 1 van de lijst verwijderen, uit het grote aantal resterende getallen, hoe weten we dan welke priemgetallen zijn en welke niet?
Hoe weet je of een getal een priemgetal is?
De normaalste zaak is om erover na te denken om het te doen door weg te gooien, dat wil zeggen, te gaan testen totdat je de delers hebt gevonden. Met een rekenmachine is het vrij snel, maar als we het ondersteboven of met pen en papier moeten doen, wordt het een beetje ingewikkeld. We leren je twee methoden om te weten of een getal een priemgetal is of niet.
De zeef van Eratosthenes
De zeef van Eratosthenes is een techniek om priemgetallen te vinden tussen 2 , het eerste priemgetal, en een bepaald getal.
Deze methode bestaat uit het maken van een tabel en het doorstrepen van de veelvouden van de gehele getallen. Eerst elimineren we de veelvouden van 2, dan 3, enzovoort, totdat we het kwadraatgetal bereiken dat groter is dan het laatste getal in de tabel.
Zoals alles in de wiskunde, kan de Eratosthenes-zeef het best worden begrepen met een voorbeeld:
- We maken een tabel met de getallen van 2 t/m 30.
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
- We schrappen de veelvouden van 2 op de lijst, dat wil zeggen, we schrappen van 2 naar 2: 4, 6, enz. Kijk uit! De 2, die alleen kan worden verdeeld tussen zichzelf en het getal 1, schrappen we niet, omdat het een priemgetal is.
| 2 | 3 | 5 | 7 | 9 | |||||
| 11 | 13 | 15 | 17 | 19 | |||||
| 21 | 23 | 25 | 27 | 29 |
- We nemen het volgende getal, 3, en controleren of het kwadraat kleiner is dan het grootste getal in de tabel. als 32 <30, we gaan verder met de zeef en schrappen de veelvouden ervan: 6, 9, 12 ... Net als in de vorige stap schrappen we het getal 3, dat ook priem is, niet door.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 25 | 29 |
- We herhalen de vorige stap met het volgende getal in de tabel: 4 is doorgestreept, dus we nemen 5. Als 52 <30, we schrappen hun veelvouden.
| 2 | 3 | 5 | 7 | ||||||
| 11 | 13 | 17 | 19 | ||||||
| 23 | 29 |
- We gaan verder met het volgende nummer zonder door te strepen: 7. As 72 = 49, dat wil zeggen, het kwadraat van 7 is groter dan het laatste getal in de tabel, de methode eindigt en de getallen zonder doorhaling zijn de priemgetallen.
- Conclusie. De priemgetallen tussen 2 en 30 zijn: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 en 29.
De zeef van Eratosthenes is een snelle en eenvoudige methode om priemgetallen te vinden, maar wat als het getal dat we willen bestuderen erg groot is , bijvoorbeeld 54657?
Zoals je je kunt voorstellen, is het niet erg praktisch om een tabel te maken van 2 tot 54657, toch? Wat kunnen we dan doen? Heel eenvoudig: gebruik de deelbaarheidsregels.
Deelbaarheidscriteria
Deelbaarheidscriteria zijn regels om te bepalen of een getal deelbaar is door een ander getal, zonder de deling daadwerkelijk uit te voeren.
Dus als we deze regels gebruiken en vaststellen dat een getal deelbaar is door een ander getal dan zichzelf en de eenheid, weten we dat het geen priemgetal is.
- Criterium van de deelbaarheid van het getal 2. Een getal is deelbaar door 2 als het even is, dat wil zeggen als het eindigt op 0, 2, 4, 6 of 8. En hier is een truc: zoals elk getal dat deelbaar is door 4, 6 of 8 ook deelbaar is door 2, hoeven we de deelbaarheidscriteria van de andere even getallen niet te kennen.
- Criterium van de deelbaarheid van het getal 3. Een getal is deelbaar door 3 als de som van de cijfers een veelvoud van drie is. Laten we een voorbeeld bekijken:
267 -> 2 + 6 + 7 = 15
Aangezien 15 een veelvoud van 3 is, is 267 deelbaar door 3.
Bovendien, aangezien elk getal dat deelbaar is door 9 ook deelbaar is door 3, volstaat het voor ons om dit criterium te kennen.
- Deelbaarheidscriterium van het getal 5. Een getal is deelbaar door 5 als het eindigt op 0 of 5.
- Criteria voor deelbaarheid van het getal 7. Om erachter te komen of een getal deelbaar is door 7, moeten we het getal aftrekken zonder het laatste cijfer en tweemaal het laatste cijfer. Als het verkregen getal 0 of een veelvoud van 7 is, is het begingetal deelbaar door 7. Je zult dit beter begrijpen met een voorbeeld, laten we ernaartoe gaan!
378 -> 37 − (8 × 2) = 37 − 16 = 21
Aangezien 21 een veelvoud van 7 is, is 378 deelbaar door 7.
- Criterium van de deelbaarheid van het getal 11. Als we de som van de even getallen en de som van de oneven getallen aftrekken, en het verkregen getal is 0 of een veelvoud van 11, dan betekent dit dat het bestudeerde getal deelbaar is door 11. Hier is Een voorbeeld:
8591 -> (8 + 9) − (5 + 1) = 17 − 6 = 11
Aangezien 11 een veelvoud van 11 is, is 8591 deelbaar door 11.
En dat is alles! Nu is het jouw beurt: zou je al weten hoe je moet berekenen of dat hoge getal, 54657, een priemgetal is?
Lijst met priemgetallen van 1 tot 10.000
Tot slot, als u op zoek bent naar een lijst met priemgetallen van 1 tot 10.000, zoals 1 tot 100 of 1 tot 1.000, dan is hier een volledige en bijgewerkte lijst:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1061, 1063, 1069, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1117, 1123, 1129, 1151, 1153, 1163, 1171, 1181, 1187, 1193, 1201, 1213, 1217, 1223, 1229, 1231, 1237, 1249, 1259, 1277, 1279, 1283, 1289, 1291, 1297, 1301, 1303, 1307, 1319, 1321, 1327, 1361, 1367, 1373, 1381, 1399, 1409, 1423, 1427, 1429, 1433, 1439, 1447, 1451, 1453, 1459, 1471, 1481, 1483, 1487, 1489, 1493, 1499, 1511, 1523, 1531, 1543, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1579, 1583, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1619, 1621, 1627, 1637, 1657, 1663, 1667, 1669, 1693, 1697, 1699, 1709, 1721, 1723, 1733, 1741, 1747, 1753, 1759, 1777, 1783, 1787, 1789, 1801, 1811, 1823, 1831, 1847, 1861, 1867, 1871, 1873, 1877, 1879, 1889, 1901, 1907, 1913, 1931, 1933, 1949, 1951, 1973, 1979, 1987, 1993, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2027, 2029, 2039, 2053, 2063, 2069, 2081, 2083, 2087, 2089, 2099, 2111, 2113, 2129, 2131, 2137, 2141, 2143, 2153, 2161, 2179, 2203, 2207, 2213, 2221, 2237, 2239, 2243, 2251, 2267, 2269, 2273, 2281, 2287, 2293, 2297, 2309, 2311, 2333, 2339, 2341, 2347, 2351, 2357, 2371, 2377, 2381, 2383, 2389, 2393, 2399, 2411, 2417, 2423, 2437, 2441, 2447, 2459, 2467, 2473, 2477, 2503, 2521, 2531, 2539, 2543, 2549, 2551, 2557, 2579, 2591, 2593, 2609, 2617, 2621, 2633, 2647, 2657, 2659, 2663, 2671, 2677, 2683, 2687, 2689, 2693, 2699, 2707, 2711, 2713, 2719, 2729, 2731, 2741, 2749, 2753, 2767, 2777, 2789, 2791, 2797, 2801, 2803, 2819, 2833, 2837, 2843, 2851, 2857, 2861, 2879, 2887, 2897, 2903, 2909, 2917, 2927, 2939, 2953, 2957, 2963, 2969, 2971, 2999, 3001, 3011, 3019, 3023, 3037, 3041, 3049, 3061, 3067, 3079, 3083, 3089, 3109, 3119, 3121, 3137, 3163, 3167, 3169, 3181, 3187, 3191, 3203, 3209, 3217, 3221, 3229, 3251, 3253, 3257, 3259, 3271, 3299, 3301, 3307, 3313, 3319, 3323, 3329, 3331, 3343, 3347, 3359, 3361, 3371, 3373, 3389, 3391, 3407, 3413, 3433, 3449, 3457, 3461, 3463, 3467, 3469, 3491, 3499, 3511, 3517, 3527, 3529, 3533, 3539, 3541, 3547, 3557, 3559, 3571, 3581, 3583, 3593, 3607, 3613, 3617, 3623, 3631, 3637, 3643, 3659, 3671, 3673, 3677, 3691, 3697, 3701, 3709, 3719, 3727, 3733, 3739, 3761, 3767, 3769, 3779, 3793, 3797, 3803, 3821, 3823, 3833, 3847, 3851, 3853, 3863, 3877, 3881, 3889, 3907, 3911, 3917, 3919, 3923, 3929, 3931, 3943, 3947, 3967, 3989, 4001, 4003, 4007, 4013, 4019, 4021, 4027, 4049, 4051, 4057, 4073, 4079, 4091, 4093, 4099, 4111, 4127, 4129, 4133, 4139, 4153, 4157, 4159, 4177, 4201, 4211, 4217, 4219, 4229, 4231, 4241, 4243, 4253, 4259, 4261, 4271, 4273, 4283, 4289, 4297, 4327, 4337, 4339, 4349, 4357, 4363, 4373, 4391, 4397, 4409, 4421, 4423, 4441, 4447, 4451, 4457, 4463, 4481, 4483, 4493, 4507, 4513, 4517, 4519, 4523, 4547, 4549, 4561, 4567, 4583, 4591, 4597, 4603, 4621, 4637, 4639, 4643, 4649, 4651, 4657, 4663, 4673, 4679, 4691, 4703, 4721, 4723, 4729, 4733, 4751, 4759, 4783, 4787, 4789, 4793, 4799, 4801, 4813, 4817, 4831, 4861, 4871, 4877, 4889, 4903, 4909, 4919, 4931, 4933, 4937, 4943, 4951, 4957, 4967, 4969, 4973, 4987, 4993, 4999, 5003, 5009, 5011, 5021, 5023, 5039, 5051, 5059, 5077, 5081, 5087, 5099, 5101, 5107, 5113, 5119, 5147, 5153, 5167, 5171, 5179, 5189, 5197, 5209, 5227, 5231, 5233, 5237, 5261, 5273, 5279, 5281, 5297, 5303, 5309, 5323, 5333, 5347, 5351, 5381, 5387, 5393, 5399, 5407, 5413, 5417, 5419, 5431, 5437, 5441, 5443, 5449, 5471, 5477, 5479, 5483, 5501, 5503, 5507, 5519, 5521, 5527, 5531, 5557, 5563, 5569, 5573, 5581, 5591, 5623, 5639, 5641, 5647, 5651, 5653, 5657, 5659, 5669, 5683, 5689, 5693, 5701, 5711, 5717, 5737, 5741, 5743, 5749, 5779, 5783, 5791, 5801, 5807, 5813, 5821, 5827, 5839, 5843, 5849, 5851, 5857, 5861, 5867, 5869, 5879, 5881, 5897, 5903, 5923, 5927, 5939, 5953, 5981, 5987, 6007, 6011, 6029, 6037, 6043, 6047, 6053, 6067, 6073, 6079, 6089, 6091, 6101, 6113, 6121, 6131, 6133, 6143, 6151, 6163, 6173, 6197, 6199, 6203, 6211, 6217, 6221, 6229, 6247, 6257, 6263, 6269, 6271, 6277, 6287, 6299, 6301, 6311, 6317, 6323, 6329, 6337, 6343, 6353, 6359, 6361, 6367, 6373, 6379, 6389, 6397, 6421, 6427, 6449, 6451, 6469, 6473, 6481, 6491, 6521, 6529, 6547, 6551, 6553, 6563, 6569, 6571, 6577, 6581, 6599, 6607, 6619, 6637, 6653, 6659, 6661, 6673, 6679, 6689, 6691, 6701, 6703, 6709, 6719, 6733, 6737, 6761, 6763, 6779, 6781, 6791, 6793, 6803, 6823, 6827, 6829, 6833, 6841, 6857, 6863, 6869, 6871, 6883, 6899, 6907, 6911, 6917, 6947, 6949, 6959, 6961, 6967, 6971, 6977, 6983, 6991, 6997, 7001, 7013, 7019, 7027, 7039, 7043, 7057, 7069, 7079, 7103, 7109, 7121, 7127, 7129, 7151, 7159, 7177, 7187, 7193, 7207, 7211, 7213, 7219, 7229, 7237, 7243, 7247, 7253, 7283, 7297, 7307, 7309, 7321, 7331, 7333, 7349, 7351, 7369, 7393, 7411, 7417, 7433, 7451, 7457, 7459, 7477, 7481, 7487, 7489, 7499, 7507, 7517, 7523, 7529, 7537, 7541, 7547, 7549, 7559, 7561, 7573, 7577, 7583, 7589, 7591, 7603, 7607, 7621, 7639, 7643, 7649, 7669, 7673, 7681, 7687, 7691, 7699, 7703, 7717, 7723, 7727, 7741, 7753, 7757, 7759, 7789, 7793, 7817, 7823, 7829, 7841, 7853, 7867, 7873, 7877, 7879, 7883, 7901, 7907, 7919
